Рассмотрим поочередно три случая:

x < -2:
Тогда уравнение примет вид -x - 2 + x - 2 - 1 = 0
-5 = 0 - неверно, следовательно, данное решение не является корнем.

-2 ≤ x < 2:
Уравнение имеет вид x + 2 + x - 2 - 1 = 0
2x - 1 = 0
x = 1/2

x ≥ 2:
Уравнение примет вид x + 2 - x + 2 - 1 = 0
3 = 0 - неверно, следовательно, данное решение не является корнем.

Итак, уравнение |x+2| - |x-2| - 1 = 0 имеет одно решение: x = 1/2.