Пусть S - площадь пруда, L - площадь, занятая лилиями, k - количество дней, за которое лилии зарастут половину пруда.

Из условия задачи мы знаем, что каждый день площадь, занятая лилиями, увеличивается в 2 раза. Значит, если за 12 дней лилии зарастут весь пруд, то за k дней лилии зарастут половину пруда, площадь которого составляет S/2.

Мы можем записать уравнение: L + 2L + 4L + ... + 2^(k-1)L = S/2

Так как L + 2L + 4L + ... + 2^(k-1)L представляет собой сумму геометрической прогрессии, можем мы записать: L(2^k - 1) = S/2

Так как весь пруд зарастает лилиями за 12 дней, то L(2^12 - 1) = S

Подставляем выражение для S в выражение для L: L(2^k - 1) = L(2^12 - 1)/2

Упрощаем: 2^k - 1 = 2^11 - 1

2^k = 2^11

k = 11

Значит, лилии зарастут половину пруда за 11 дней.