Обозначим длину стороны треугольника как a, то есть AC = a, AB = b, и BC = c.

Так как М - середина стороны AB, то МС = 1/2 * AB = b/2.

Также, так как CQ = 2PM и M - середина стороны AB, то PQ = PM = MC = b/2.

Теперь обратим внимание на треугольник AMR. Так как угол ARM = 90 градусов, то можно записать:

AR^2 + MR^2 = AM^2

AR = AM - RM = AM - PM = c - b/2

Так как MR = PM = MC = b/2, то MR^2 = (b/2)^2 = b^2/4

Теперь подставим это в формулу для треугольника AMR:

(c - b/2)^2 + b^2/4 = a^2

c^2 - bc + b^2/4 + b^2/4 = a^2

c^2 - bc + b^2/2 = a^2

Теперь обратим внимание на треугольник MBC. В нем можем записать:

MB^2 + BC^2 = MC^2

MB = a/2, так как М - середина стороны AC

MB^2 = (a/2)^2 = a^2/4

Теперь подставим это в формулу для треугольника MBC:

a^2/4 + c^2 = b^2/4

a^2 + 4c^2 = b^2

Теперь подставим полученное равенство в уравнение для треугольника AMR:

c^2 - bc + b^2/2 = a^2

c^2 - bc + b^2/2 = a^2

c^2 - bc + b^2/2 = b^2 + 4c^2

Теперь упростим это :

c^2 - bc + b^2/2 = b^2 + 4c^2

c^2 - bc = 2b^2 + 8c^2

b^2 + 2c^2 - bc = 0

Теперь перейдем к треугольнику BQC. Для него также можем написать:

QB^2 + BC^2 = CQ^2

QB^2 + c^2 = 4b^2

QB^2 = 4b^2 - c^2

Теперь подставим найденное равенство в уравнение:

b^2 + 2c^2 - bc = 0

4b^2 - c^2 + 2c^2 - 2bc = 0

4b^2 + c^2 - bc = 0

Таким образом, мы получили, что BQ = AC.