Для того чтобы доказать, что функция y=x^3 возрастает на всей числовой прямой R, нужно показать, что ее производная положительна на всем промежутке.

Производная функции y=x^3 равна 3x^2.
Чтобы доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой, достаточно показать, что ее производная положительна при всех значениях x.

Для любого значения x из множества R, значение выражения 3x^2 будет неотрицательным, а при x=0 - равно 0.
Таким образом, производная функции, равная 3x^2, положительна при всех значениях x из множества R.

Следовательно, функция y=x^3 возрастает на всей числовой прямой R.