Для исследования непрерывности функции Y=[tex]\frac{x^{3}+x }{2|x|}[/tex] нужно выяснить, является ли функция определенной на всей числовой прямой и не имеет ли она точек разрыва.

Функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки x=0, где знаменатель становится равным 0. Таким образом, точка x=0 является точкой разрыва функции.

Изучим поведение функции в окрестности точки x=0:

При x > 0:
Y=[tex]\frac{x^{3}+x }{2x}=\frac{x^{3}}{2x}+\frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}[/tex]

При x < 0:
Y=[tex]\frac{x^{3}+x }{-2x}=\frac{x^{3}}{-2x}+\frac{x}{-2}=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}[/tex]

Таким образом, функция имеет разрыв в точке x=0, и в окрестностях этой точки функция не является непрерывной.