Для начала приведем систему уравнений к матричному виду:

$\left{
\begin{array}{l}
3x - y = 2 \
2x + 2y - z = 2 \
2x - y + z = 2
\end{array}
\right.$

Матрица коэффициентов:

$A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 \
2 & 2 & -1 \
2 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

И вектор правых частей:

$B = \begin{pmatrix}
2 \
2 \
2
\end{pmatrix}$

Теперь найдем определитель матрицы коэффициентов:

$det(A) = 3\cdot(2\cdot1 - (-1)) - (-1)\cdot(2\cdot1 - 2) + 0\cdot(2\cdot(-1) - 2) = 3(2 + 1) + 1(2 - 2) = 9$

Так как определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, система имеет единственное решение.

Теперь найдем матрицы для нахождения обратной матрицы:

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)$

где $adj(A)$ - это матрица алгебраических дополнений.

Алгебраические дополнения для матрицы $A$:

$A{11} = (-1)^{1+1} \cdot (2 - 1) = 1 \
A{12} = (-1)^{1+2} \cdot (2 - 2) = 0 \
A{13} = (-1)^{1+3} \cdot (2\cdot(-1) - 2) = 4 \
A{21} = (-1)^{2+1} \cdot (-1) = -1 \
A{22} = (-1)^{2+2} \cdot (3 - 2) = 1 \
A{23} = (-1)^{2+3} \cdot (3\cdot(-1) - 2) = -5 \
A{31} = (-1)^{3+1} \cdot (2 - 2) = 0 \
A{32} = (-1)^{3+2} \cdot (3 - 2) = -1 \
A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (3\cdot2 - (-1)) = 7$

Теперь составим матрицу алгебраических дополнений:

$adj(A) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 \
-1 & 1 & -5 \
0 & -1 & 7
\end{pmatrix}$

И найдем обратную матрицу:

$A^{-1} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 \
-1 & 1 & -5 \
0 & -1 & 7
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{9} & 0 & \frac{4}{9} \
-\frac{1}{9} & \frac{1}{9} & -\frac{5}{9} \
0 & -\frac{1}{9} & \frac{7}{9}
\end{pmatrix}$

Теперь найдем вектор решения:

$X = A^{-1} \cdot B$

$X = \begin{pmatrix}
\frac{1}{9} & 0 & \frac{4}{9} \
-\frac{1}{9} & \frac{1}{9} & -\frac{5}{9} \
0 & -\frac{1}{9} & \frac{7}{9}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
2 \
2 \
2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{9} \cdot 2 + 0 \cdot 2 + \frac{4}{9} \cdot 2 \
-\frac{1}{9} \cdot 2 + \frac{1}{9} \cdot 2 - \frac{5}{9} \cdot 2 \
0 \cdot 2 - \frac{1}{9} \cdot 2 + \frac{7}{9} \cdot 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{2}{9} + 0 + \frac{8}{9} \
-\frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{10}{9} \
0 - \frac{2}{9} + \frac{14}{9}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{10}{9} \
-\frac{10}{9} \
\frac{12}{9}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{10}{9} \
-\frac{10}{9} \
\frac{4}{3}
\end{pmatrix}$

Таким образом, решение системы уравнений:

$\begin{cases}
x = \frac{10}{9} \
y = -\frac{10}{9} \
z = \frac{4}{3}
\end{cases}$