1) Остаток от деления числа 485638 на 5 равен 3, так как остаток от деления числа на 5 равен последней цифре числа.

2) 3^57 = 3^4 3^13 = 81 1594323, а 4^25 = 4 4^24 = 4 16777216. Следовательно, последняя цифра суммы будет равна 1 + 6 = 7.

3) 9^15 = $3^2$^15 = 3^30, 3^27 = 3^3. Тогда 9^15 - 3^27 = 3^$30$ - 3^3 = 3^3$3^{2}7-1$. 3^27 - 1 делится на 3 $таккак3^{2}7-1=(3^9-1)(3^{1}8+3^9+1)$, а значит и 9^15 - 3^27 делится на 3, но не делится на 2. Следовательно, число 9^15 - 3^27 делится на 26.

4) Найдем m из уравнения: 8n+1 ≡ 0 $modm$, 5n+2 ≡ 0 $modm$. Заметим, что m не равно 1 $таккак8n+1и5n+2неделятсяна1$. Тогда m должно делить $8n+1$ $5n+2$ - $5n+2$ 8 = 40n^2 - 11n - 16. Получаем, что m должно делить 40n^2 - 11n - 16. Решив уравнение 40n^2 - 11n - 16 = 0, получим n = -2/5 или n = 5/8. Подставляя n = -2/5 или n = 5/8, видим, что m не может быть равно 1. Таким образом, m = 9.

5) Уравнение 26x + 39y = 230 можно привести к виду 213x + 313y = 2115. Это уравнение не имеет целочисленных решений, так как число 2115 не делится на 13, следовательно, 26x + 39y = 230 не имеет целочисленных решений.

6)
а) Уравнение 5x + 3y = 4. Посмотрим на уравнение по модулю 5:
3y ≡ 4 $mod5$ Умножим обе части на -2:
-6y ≡ -8 $mod5$ y ≡ 3 $mod5$ Таким образом, y = 5k + 3. Подставим это обратно в уравнение:
5x + 3$5k+3$ = 4
x = -3k - 1
Целочисленные решения: $2,-1$, $1,2$, $0,5$, $-1,8$, ...

б) Уравнение x^2 = y^2 + 21. Это уравнение можно переписать в виде следующего:
$x+y$$x-y$ = 21
Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел, умножение которых даёт 21. Решениями уравнения будут все целочисленные пары чисел $11,10$, $-11,-10$, $7,3$, $-7,-3$, $4,3$, $-4,-3$, $3,2$, $-3,-2$, $21,0$, $-21,0$.