Пусть катеты треугольника равны a и b.

Известно, что гипотенуза равна 37 см:
a^2 + b^2 = 37^2

Также известно, что площадь треугольника равна 210 см^2:
0.5 a b = 210

Мы можем выразить один из катетов через другой из второго уравнения:
b = 420 / a

Подставим это выражение в первое уравнение:
a^2 + (420 / a)^2 = 37^2

a^2 + 176400 / a^2 = 1369
a^4 - 1369a^2 + 176400 = 0

Это уравнение является квадратным относительно a^2. Решим его с помощью дискриминанта:

D = 1369^2 - 4*176400 = 361

a^2 = (1369 + sqrt(361)) / 2 = 882 или a^2 = (1369 - sqrt(361)) / 2 = 487

Таким образом, получаем два возможных значения для a: a = sqrt(882) ≈ 29.73 и a = sqrt(487) ≈ 22.06

Подставим a обратно в уравнение b = 420 / a, чтобы найти соответствующие значения для b:

для a = 29.73, b ≈ 14.11
для a = 22.06, b ≈ 19.04

Итак, длины катетов равны приблизительно 29.73 см и 14.11 см, либо 22.06 см и 19.04 см.