Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом вариации постоянных.

Частное решение этого уравнения можно искать в виде y_p=Ae^(2x)sin(e^x) + Be^(2x)cos(e^x), где A и B - константы, которые необходимо найти.

Для нахождения этих констант подставим частное решение в исходное уравнение и найдем производные:

y_p' = 2Ae^(2x)sin(e^x) + 2Be^(2x)cos(e^x) + Ae^(2x)cos(e^x) - Be^(2x)sin(e^x)
y_p'' = 3Ae^(2x)sin(e^x) + 3Be^(2x)cos(e^x) + 4Ae^(2x)cos(e^x) - 4Be^(2x)sin(e^x)

Подставляем y_p и ее производные в исходное уравнение:

(3Ae^(2x)sin(e^x) + 3Be^(2x)cos(e^x) + 4Ae^(2x)cos(e^x) - 4Be^(2x)sin(e^x)) - (2Ae^(2x)sin(e^x) + 2Be^(2x)cos(e^x) + Ae^(2x)cos(e^x) - Be^(2x)sin(e^x)) = e^(2x)sin(e^x)

Упрощаем уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях:

A = 1/2
3A + 4B = 0
3B - 4A = 1

Из первого уравнения получаем A = 1/2. Подставляем это значение в следующие два уравнения и находим B:

3(1/2) + 4B = 0
3B - 4(1/2) = 1

3/2 + 4B = 0
3B - 2 = 1

4B = -3/2
B = -3/8

Таким образом, частное решение уравнения y’’ - y’ = e^(2x)sin(e^x) равно:

y_p = (1/2)e^(2x)sin(e^x) - (3/8)e^(2x)cos(e^x)

Общее решение будет представлено как сумма частного решения и общего решения однородного уравнения y’’ - y’ = 0:

y = y_h + y_p

Общее решение уравнения y’’ - y’ = e^(2x)sin(e^x) будет выглядеть следующим образом:

y = C1e^x + C2e^(2x) + (1/2)e^(2x)sin(e^x) - (3/8)e^(2x)cos(e^x), где C1 и C2 - произвольные константы.