Для нахождения первообразной данной функции, сначала разложим выражение в знаменателе под корнем на множители:

[tex]\sqrt{x^4+3} = (x^4+3)^{1/2} = (x^4(1+\frac{3}{x^4}))^{1/2}[/tex]
[tex]\sqrt{x^4+3} = x^2(1+\frac{3}{x^4})^{1/2}[/tex]

Теперь можем подставить это в исходную функцию:

[tex]\int \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+3}}dx = \int 2x^3 \cdot x^2(1+\frac{3}{x^4})^{1/2}dx[/tex]
[tex]= \int 2x^5(1+\frac{3}{x^4})^{1/2}dx = \int 2x^5 + 6x \cdot x^2(1+\frac{3}{x^4})^{1/2}dx[/tex]
[tex]= \int 2x^5 + 6x^3(1+\frac{3}{x^4})^{1/2}dx[/tex]

Интеграл первого слагаемого равен (2/6)x^6 = (1/3)x^6 + C1, интеграл второго слагаемого можно найти с помощью замены x^2 = t:

[tex]\int 6t(1+\frac{3}{t^2})^{1/2}dt = 6\int (t + 3t^{-1})^{1/2}dt = 6\int (t^{1/2} + 3t^{-1/2})dt[/tex]
[tex]= 6(\frac{2}{3}t^{3/2} + 6t^{1/2}) + C2 = 4t^{3/2} + 12t^{1/2} + C2 = 4x^3 + 12\sqrt{x} + C2[/tex]

Итак, первообразная функции f(x) равна:

[tex]\frac{1}{3}x^6 +4x^3 + 12\sqrt{x} + C[/tex]