Для нахождения производной данной функции, воспользуемся цепным правилом дифференцирования (правило дифференцирования сложной функции).

Пусть u = ln(√(x^2 + 1 + 3x^2)).

Тогда y = ln^3(u).

Производная функции y по x будет равна:

dy/dx = d(ln^3(u))/d(u) * d(u)/dx

Сначала найдем производную ln^3(u):

d(ln^3(u))/d(u) = 3ln^2(u) * 1/u = 3ln^2(u)/u

Теперь найдем производную u по x:

d(u)/dx = d(ln(√(x^2 + 1 + 3x^2)))/dx

Сначала найдем производную ln(√(x^2 + 1 + 3x^2)):

d(ln(√(x^2 + 1 + 3x^2)))/d(√(x^2 + 1 + 3x^2)) * d(√(x^2 + 1 + 3x^2))/dx

d(ln(√(x^2 + 1 + 3x^2)))/d(√(x^2 + 1 + 3x^2)) = 1/√(x^2 + 1 + 3x^2)

Теперь найдем производную √(x^2 + 1 + 3x^2) по x:

d(√(x^2 + 1 + 3x^2))/dx = (1/2)(x^2 + 1 + 3x^2)^(-1/2) d(x^2 + 1 + 3x^2)/dx
= (1/2)(x^2 + 1 + 3x^2)^(-1/2) (2x + 6x)
= (x + 3x) / (2√(x^2 + 1 + 3x^2))
= 4x / (2√(x^2 + 1 + 3x^2))
= 2x / √(x^2 + 1 + 3x^2)

Теперь мы можем найти dy/dx:

dy/dx = 3ln^2(√(x^2 + 1 + 3x^2)) / √(x^2 + 1 + 3x^2) * 2x / √(x^2 + 1 + 3x^2)
= 6xln^2(√(x^2 + 1 + 3x^2)) / (x^2 + 1 + 3x^2)

Итак, производная функции y = ln^3(√(x^2 + 1 + 3x^2)) равна 6xln^2(√(x^2 + 1 + 3x^2)) / (x^2 + 1 + 3x^2).