При решении данного предела можно воспользоваться правилом Лопиталя, то есть взять производные числителя и знаменателя и рассмотреть их предел при x стремящемся к нулю.

lim(x->0) tgx/sin3x

Первоначально можно записать данное выражение в виде:

lim(x->0) sinx/cosx * 1/(3sin2x)

Затем можно продифференцировать числитель и знаменатель:

lim(x->0) (cosx cosx + sinx (-sinx)) / (cosx cosx) (-1/(3 2sinx cosx))

Упрощая выражение, получим:

lim(x->0) (cos^2 x - sin^2 x) / (3cosx) = lim(x->0) cos2x / (3cosx) = lim(x->0) 2cosx / 3 = 2/3

Таким образом, lim(x->0) tgx/sin3x = 2/3.