Для нахождения наименьшего значения функции f(x) =(x²-2x)²+6(x²-2x)+10 нужно найти экстремум функции.

Сначала раскроем скобки в данном выражении:
f(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) + 6x^2 - 12x + 10
f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 6x^2 - 12x + 10
f(x) = x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 10

Теперь найдем производную функции f(x):
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 20x - 12

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
4x^3 - 12x^2 + 20x - 12 = 0

Это уравнение можно решить численно или графически. Решением этого уравнения будут x ≈ 1.62, x ≈ 1.48, x ≈ 1.89.

Теперь найдем значения функции f(x) в найденных критических точках и также на границах интервалов, на которых происходит изменение знака производной.

f(1.48) ≈ 10.016
f(1.62) ≈ 10.016
f(1.89) ≈ 10.836

Таким образом, наименьшее значение функции равно f(1.48) ≈ 10.016.