Данное уравнение может быть решено методом подстановки.
Пусть [tex]y=3^x[/tex], тогда уравнение примет вид:
[tex]y^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{x} + 1[/tex]

Мы можем заметить, что уравнение упрощается и может быть решено следующим образом:
[tex]y^2 + 1 = y + 1[/tex]
[tex]y^2 = y[/tex]
[tex]y^2 - y = 0[/tex]
[tex]y(y - 1) = 0[/tex]

Отсюда получаем два возможных решения:
1) [tex]y = 0 \Rightarrow 3^x = 0[/tex] - нет решения
2) [tex]y = 1 \Rightarrow 3^x = 1[/tex]
Второе решение равносильно [tex]x = 0[/tex]
Итак, решением уравнения [tex]9^{x} + 4^{x} =12^{x} +1[/tex] является [tex]x=0[/tex].