Для решения данного уравнения воспользуемся методом вариации постоянных.

Характеристическое уравнение:
[tex]m^2 - 9 = 0[/tex]
[tex]m^2 = 9[/tex]
[tex]m = ±3[/tex]

Общее решение однородного уравнения:
[tex]y{h} = c{1}e^{3x} + c_{2}e^{-3x}[/tex]

Предположим, что частное решение уравнения имеет вид:
[tex]y_{p} = Ae^{3x}cosx + Be^{3x}sinx[/tex]

Найдем производные:
[tex]y{p}' = 3Ae^{3x}cosx - Ae^{3x}sinx + 3Be^{3x}sinx + Be^{3x}cosx[/tex]
[tex]y{p}'' = 6Ae^{3x}cosx - 6Ae^{3x}sinx + 9Ae^{3x}cosx + 9Be^{3x}sinx[/tex]

Подставим найденные производные в исходное уравнение:
[tex]6Ae^{3x}cosx - 6Ae^{3x}sinx + 9Ae^{3x}cosx + 9Be^{3x}sinx - 9Ae^{3x}cosx - 9Be^{3x}sinx = e^{3x}cosx[/tex]

Сгруппируем все слагаемые и приравняем к данной функции:
[tex]6Ae^{3x}cosx + 9Be^{3x}sinx = e^{3x}cosx[/tex]
[tex]6A = 1[/tex]
[tex]9B = 0[/tex]

Отсюда получаем, что [tex]A = \frac{1}{6}[/tex] и [tex]B = 0[/tex].

Поэтому, частное решение:
[tex]y_{p} = \frac{1}{6}e^{3x}cosx[/tex]

Полное решение уравнения:
[tex]y = y{h} + y{p} = c{1}e^{3x} + c{2}e^{-3x} + \frac{1}{6}e^{3x}cosx[/tex]