1) Область определения функции y=arcsin[tex]\frac{2x}{1+x}[/tex] определяется условием существования арксинуса, то есть -1 ≤ [tex]\frac{2x}{1+x}[/tex] ≤ 1. Решая это неравенство:

-1 ≤ [tex]\frac{2x}{1+x}[/tex] ≤ 1
-1(1+x) ≤ 2x ≤ 1(1+x)
-x-1 ≤ 2x ≤ x+1
-1 ≤ 3x ≤ 1
-1/3 ≤ x ≤ 1/3

Таким образом, область определения функции y=arcsin[tex]\frac{2x}{1+x}[/tex] это (-1/3, 1/3).

2) Найдем односторонние пределы функции f(x)=[tex]\frac{sinx}{|x|}[/tex] в точке х = 0.

lim(x→0-) [tex]\frac{sinx}{|x|}[/tex] = lim(x→0-) [tex]\frac{sinx}{-x}[/tex] = lim(x→0-) -sinx = 0
lim(x→0+) [tex]\frac{sinx}{|x|}[/tex] = lim(x→0+) [tex]\frac{sinx}{x}[/tex] = 1

Произведение односторонних пределов в точке x = 0 равно 0 * 1 = 0.