Найдем область определения функции: x ≠ 1

Найдем нули функции:
x + 1/(x-1) = 0
x(x-1) + 1 = 0
x^2 - x + 1 = 0
D = (-1)^2 - 411 = 1 - 4 = -3 (отрицательный дискриминант)
Уравнение не имеет действительных корней, следовательно у функции нет нулей.

Найдем точки разрыва функции:
Функция имеет разрыв в точке x = 1 из-за деления на 0.

Найдем пределы функции:

lim (x -> 1-) (x + 1/(x-1)) = +∞lim (x -> 1+) (x + 1/(x-1)) = -∞

Найдем производные функции:
f'(x) = 1 + 1/(x-1)^2
f''(x) = -2/(x-1)^3

Найдем экстремумы функции:
Для нахождения экстремумов найдем точки, где производная равна 0:
1 + 1/(x-1)^2 = 0
1/(x-1)^2 = -1
(x-1)^2 = -1
x-1 = ±i
x = 1 ± i
Так как полученные точки являются комплексными, значит функция не имеет экстремумов.

Найдем точки перегиба функции:
Для нахождения точек перегиба найдем точки, где вторая производная равна 0:
-2/(x-1)^3 = 0
(x-1)^3 = 0
x = 1
Точка x = 1 является точкой перегиба функции.

Найдем поведение функции при x -> ±∞:
При x -> ±∞ функция стремится к бесконечности.

Таким образом, полное исследование функции f(x) = x + 1/(x-1) показывает, что функция не имеет нулей, имеет разрыв в точке x = 1, не имеет экстремумов, имеет точку перегиба в точке x = 1, и при x -> ±∞ функция стремится к бесконечности.