Для доказательства этого утверждения, рассмотрим выражение 4n^3 + 17n + 10^5 + 5.

Мы можем записать это выражение в виде 4n^3 + 17n + 100005 + 5 = 4n^3 + 17n + 100010.

Теперь мы видим, что это выражение представляет собой некоторое число, которое мы обозначим как N = 4n^3 + 17n + 100010.

Чтобы доказать, что N делится на 3 для любого целого n, докажем, что остаток N при делении на 3 равен 0.

Мы знаем, что любое число можно представить в виде суммы произведений его цифр и степеней 10. То есть, N = 4n^3 + 17n + 100010 = 4$n^3$ + 17n + 110^5 + 610^4.

Теперь докажем, что N делится на 3, вычислив остаток N при делении на 3:

4$n^3$ + 17n + 110^5 + 610^4 = $4n^{3}mod3+17nmod3+1<em>10^{5}mod3+6</em>10^{4}mod3$ mod 3.

Поскольку x mod 3 имеет остаток 1, где x = 4n^3 или 17n или 110^5 или 610^4, мы видим, что остаток каждого из них равен 1 mod 3.

Следовательно, сумма этих остатков также будет иметь остаток 1 mod 3.

Таким образом, остаток N при делении на 3 равен 0, что означает, что N делится на 3 для любого целого n.

Следовательно, выражение 4n^3 + 17n + 100010 делится на 3 для любого целого n.