Для решения задачи необходимо найти первый член а и разность d прогрессии.

Используем формулу для нахождения члена арифметической прогрессии:

а_n = а + (n - 1) * d

Подставим данную информацию о четвёртом и девятом членах:

а_4 = а + 3d = 1
а_9 = а + 8d = 11

Теперь решим систему уравнений:

а + 3d = 1
а + 8d = 11

Вычтем из второго уравнения первое:

5d = 10
d = 2

Подставим значение d в первое уравнение:

а + 3 * 2 = 1
а + 6 = 1
а = -5

Теперь мы знаем, что первый член прогрессии равен -5, а разность равна 2.

Теперь найдем сумму двадцати трех первых членов прогрессии по формуле:

S_n = n/2 (2a + (n - 1) d)

S_23 = 23/2 (2 (-5) + (23 - 1) 2) = 11.5 (-10 + 44) = 11.5 * 34 = 391

Таким образом, сумма двадцати трех первых членов арифметической прогрессии равна 391.