Пусть первый член прогрессии равен а, а коэффициент прогрессии равен q.

Тогда первые три члена: а, аq, аq^2

Из условия имеем систему уравнений:

а + аq + аq^2 = 42 (1)

а аq аq^2 = -1000 (2)

из (2) следует, что а^3 * q^3 = -1000

Подставляем это в уравнение (1):

а + aq + a^3 * q^3 = 42

а(1 + q + a^2 * q^2) = 42

Подставляем значение суммы первых трех членов прогрессии:

а(1 + q + q^2) = 42

а(q^2 + q + 1) = 42

Таким образом, мы можем выразить а через q:

а = 42 / (q^2 + q + 1)

Подставляем полученное выражение в уравнение (2) и находим q:

42 / (q^2 + q + 1) q q^2 = -1000

42q / (q^3 + q^2 + q) = -1000

42q = -1000(q^3 + q^2 + q)

42 = -1000(q^2 + q + 1)

42 = -1000q^2 - 1000q - 1000

1000q^2 + 1000q - 958 = 0

По решению этого квадратного уравнения, находим q ≈ -0.958 или q ≈ 0.958

Подставляем q = -0.958 в уравнение (1) и находим значение первого члена а ≈ 13.38

Теперь можем найти четвертый член прогрессии аq^3 ≈ -6.6

Итак, четвертый член геометрической прогрессии равен примерно -6.6.