Для того чтобы доказать, что данное выражение делится на 64 для любых натуральных m и n, необходимо раскрыть скобки и выразить его в виде произведения степеней чисел 2.

Имеем:
(m+5n+7)^6 = m^6 + 6m^5 5n + 15m^4 5n^2 + 20m^3 25n^3 + 15m^2 125n^4 + 6m 625n^5 + 7^6
(3m+7n+2)^7 = 3m^7 + 7m^6 3n + 21m^5 9n^2 + 35m^4 27n^3 + 35m^3 81n^4 + 21m^2 243n^5 + 7m * 729n^6 + 2^7

После раскрытия скобок и упрощения выражения будем иметь сумму многочленов, в каждом из которых присутствует множение на 64. Таким образом, результат делится на 64 при любых натуральных m и n.