Для доказательства того, что векторы p=(3,-1) и q=(4,4) образуют базис пространства R2, необходимо показать, что они линейно независимы и что любой вектор из R2 может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов.

Линейная независимость:
Для доказательства линейной независимости векторов p и q найдем их линейную комбинацию, равную нулевому вектору:
αp + βq = (0,0).
Подставим векторы p и q:
α(3,-1) + β(4,4) = (0,0).
Получаем систему уравнений:
3α + 4β = 0,
-α + 4β = 0.
Из этой системы получаем, что α = 0 и β = 0. Значит, векторы p и q линейно независимы.

Любой вектор из R2 может быть представлен в виде линейной комбинации векторов p и q:
Пусть a = (-3,4) - данный вектор. Требуется найти коэффициенты α и β такие, что a = αp + βq.
Подставим значения векторов p и q:
α(3,-1) + β(4,4) = (-3,4).
Получаем систему уравнений:
3α + 4β = -3,
-α + 4β = 4.
Решив эту систему, найдем значения α и β:
α = -4, β = 1.
Таким образом, вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов p и q: a = -4p + q.

Таким образом, векторы p=(3,-1) и q=(4,4) действительно образуют базис пространства R2.