Для нахождения наибольшего значения функции необходимо найти максимальное значение на отрезке [-6;-0,5].

Для этого найдем производную функции f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 5, и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

f'(x) = 3x^2 + 4x + 1

Теперь находим корни уравнения f'(x) = 0:

3x^2 + 4x + 1 = 0
D = 4^2 - 431 = 16 - 12 = 4
x1 = (-4 + 2) / 6 = -1
x2 = (-4 - 2) / 6 = -2/3

Теперь проверяем значения функции в найденных точках и на концах отрезка [-6;-0,5]:

f(-6) = (-6)^3 + 2(-6)^2 - 6 + 5 = -189
f(-0.5) = (-0.5)^3 + 2(-0.5)^2 - 0.5 + 5 = 4.375
f(-2/3) = (-2/3)^3 + 2(-2/3)^2 - 2/3 + 5 ≈ 5.37
f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 + 5 = 6

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 5 на отрезке [-6;-0,5] равно 6.