Область определения функции: x ≠ 0

Промежутки знакопостоянства и нули функции:
Упрощаем функцию: (2x^3 + 1) / x^2 = 2x + 1/x^2
Таким образом, функция будет положительной при x > 0 и отрицательной при x < 0. Ноль функции будет равен x = -1/√2.

Чётность, нечётность:
Функция не является четной или нечетной.

Монотонность:
Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

Вогнутость, выпуклость, точки перегиба:
Вычислим вторую производную функции:
f''(x) = 6 - 2/x^3
Точки перегиба найдем при f''(x) = 0:
6 - 2/x^3 = 0
2/x^3 = 6
x = ∛(1/3)

Точка перегиба будет при x = ∛(1/3), f(∛(1/3)) = 3∛3.

Функция выпукла вверх при x < ∛(1/3) и выпукла вниз при x > ∛(1/3).

Асимптоты:
Горизонтальная асимптота: при x -> ±∞, f(x) -> 2x.
Вертикальная асимптота: x = 0.