Для решения данного уравнения сначала используем тригонометрические тождества:

[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ]

Дано:
[ 4 \sin x = 4 - \cos^2 x ]

Так как (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x), подставляем это в уравнение:

[ 4 \sin x = 4 - 1 + \sin^2 x ]
[ 4 \sin x = 3 + \sin^2 x ]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно (\sin x):
[ \sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0 ]

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = (-4)^2 - 413 = 16 - 12 = 4 ]

[ \sin x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} ]
[ \sin x = \frac{4 \pm 2}{2} ]

Таким образом, получаем два возможных решения:
1) (\sin x = 3) - некорректное решение, так как синус не может превышать 1
2) (\sin x = 1)

Значит, (\sin x = 1), что означает, что (x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n), где n - целое число.