Для доказательства того, что 0,333... равно 1/3, можно воспользоваться определением бесконечно повторяющейся десятичной дроби.

Представим 0,333... в виде бесконечной десятичной дроби:

0,333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...

Так как у нас бесконечное количество троек после запятой, мы можем записать это как:

0,333... = 3 * (1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)

Это представляет собой бесконечно убывающий геометрический ряд с первым членом 1/10 и множителем 1/10. Сумма бесконечного геометрического ряда с первым членом a и множителем r, где |r| < 1, вычисляется по формуле:

S = a / (1 - r)

Применяя эту формулу к нашему ряду, получаем:

0,333... = 3 (1/10 / (1 - 1/10)) = 3 (1/10 / (9/10)) = 3 * (1/9) = 1/3

Таким образом, мы доказали, что 0,333... равно 1/3.