Для доказательства того, что многочлен p(x) делится без остатка на многочлен q(x), необходимо показать, что существует многочлен r(x), такой, что p(x) = q(x) * r(x).

Найдем частное от деления многочлена p(x) на q(x):

p(x) = (2x^2 + 8x - 2)(ax + b) + cx + d

Умножим q(x) на (ax + b) и сложим с членом cx + d:

p(x) = 2ax^3 + 8ax^2 - 2ax + 2bx^2 + 8bx - 2b + cx + d

Сгруппируем одинаковые степени x:

p(x) = 2ax^3 + (8a + 2b)x^2 + (-2a + 8b + c)x + (-2b + d)

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2ax^3 = x^3 => a = 1/2
8a + 2b = 5 => 4 + 2b = 5 => b = 1/2
-2a + 8b + c = 3 => -1 + 4 + c = 3 => c = 0
-2b + d = -1 => -1 + d = -1 => d = 0

Теперь подставим найденные значения a, b, c, d обратно в уравнение p(x) и получим:

p(x) = (2x^2 + 8x - 2)(1/2 x + 1/2)

Таким образом, многочлен p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1 делится без остатка на многочлен q(x) = 2x^2 + 8x - 2.