Для начала разложим левую часть уравнения на множители:

(1 + x + x^2)(1 + x + ... + x^10) =

= 1(1 + x + ... + x^10) + x(1 + x + ... + x^10) + x^2*(1 + x + ... + x^10) =

= (1 + x + ... + x^10) + (x + x^2 + ... + x^11) + (x^2 + x^3 + ... + x^12) =

= 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 + 8x^7 + 9x^8 + 10x^9 + 11x^10 + 10x^11 + 9x^12 + 8x^13 + 7x^14 + 6x^15 + 5x^16 + 4x^17 + 3x^18 + 2x^19 + x^20.

Теперь упростим правую часть уравнения:

(1 + x + ... + x^6)^2 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)*(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) =

= 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 =

= 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1.

Итак, получаем, что левая и правая части уравнения равны, следовательно уравнение верно для всех x.