Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения мы используем метод разделения переменных.

Уравнение:

2(xy+y)dx - xdy = 0

Разделим переменные:

2(xy+y)dx = xdy

Разделим обе части на xy+y:

2dx = xdy/(xy+y)

2dx = dy/x

Интегрируем обе части уравнения:

∫2dx = ∫dy/x

2x + C1 = ln|x| + C2

где C1 и C2 - константы интегрирования.

Получается общее решение дифференциального уравнения:

2x + C1 = ln|x| + C2

Теперь найдем частное решение, используя начальные условия y=e^2 при x=1:

2*1 + C1 = ln|1| + C2

С учетом y=e^2 получаем:

2 + C1 = 0 + C2

C1 = C2 - 2

Подставляем данное значение константы в общее решение:

2x + (C2 - 2) = ln|x| + C2

Выберем C2=2, чтобы упростить решение:

2x = ln|x| + 2

Получаем частное решение дифференциального уравнения:

2x = ln|x| + 2.