Для доказательства того, что выражение 2^(2n + 1) * 3^(n + 3) + 1 делится на 11 при любом натуральном n, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции:
Для n = 1:
2^(21 + 1) 3^(1 + 3) + 1 = 2^3 3^4 + 1 = 8 81 + 1 = 648 + 1 = 649
649 не делится на 11, но проверяем только базу индукции.

Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, т.е. выражение 2^(2k + 1) 3^(k + 3) + 1 делится на 11:
2^(2k + 1) 3^(k + 3) + 1 = 11m для некоторого целого числа m.

Докажем, что утверждение верно и для n = k + 1:
Выражение при n = k + 1 будет равно:
2^(2(k + 1) + 1) 3^((k + 1) + 3) + 1 = 2^(2k + 2 + 1) 3^(k + 1 + 3) + 1 = 2^2 2^(2k + 1) 3 3^(k + 3) + 1 = 4 (2^(2k + 1) * 3^(k + 3)) + 1

Поскольку 2^(2k + 1) 3^(k + 3) + 1 делится на 11 по предположению индукции, то умножение на 4 не изменило деления на 11. Таким образом, выражение 4 (2^(2k + 1) * 3^(k + 3)) + 1 также делится на 11.

Таким образом, по принципу математической индукции можно сделать вывод, что выражение 2^(2n + 1) * 3^(n + 3) + 1 делится на 11 при любом натуральном n.