Дано: меньшая диагональ шестиугольной призмы ( d = 4\sqrt{3} ) см, угол между диагональю и плоскостью основания ( \alpha = 60^\circ ).

Мы знаем, что треугольная призма, вершины которой являются серединами сторон основания шестиугольной призмы, является правильным тетраэдром, то есть треугольниками основания которого являются равносторонние треугольники.

Мы можем найти сторону одного из таких равносторонних треугольников по формуле ( a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 ) см.

Теперь мы можем найти площадь основания правильного тетраэдра по формуле ( S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4^2}{4} = 4\sqrt{3} ) см².

Так как высота правильного тетраэдра равна ( h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 4 = \frac{8}{\sqrt{3}} ) см, мы можем найти объем правильного тетраэдра по формуле ( V = \frac{S \cdot h}{3} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}}}{3} = \frac{32}{3} ) см³.

Ответ: объем треугольной призмы равен ( \frac{32}{3} ) см³.