за подробное описание.

Функция f(x)=x-9√x:

Для изучения монотонности данной функции необходимо найти ее производную и выяснить знак производной на интервалах.

f'(x) = 1 - 9/(2√x)

Рассмотрим знак производной:
1 - 9/(2√x) > 0
2√x - 9 > 0
2√x > 9
√x > 9/2
x > 81/4

Таким образом, на интервале (81/4, +∞) производная положительна, что значит, что функция возрастает на этом интервале. Экстремумы данной функции можно найти, приравняв производную к нулю:
1 - 9/(2√x) = 0
2√x = 9
√x = 9/2
x = 81/4

Таким образом, данная функция имеет минимум при x = 81/4.

Функция f(x) = 32lnx - x^2:

Для изучения монотонности данной функции также найдем ее производную и выясним знак производной на интервалах.

f'(x) = 32/x - 2x

Рассмотрим знак производной:
32/x - 2x > 0
32 - 2x^2 > 0
2x^2 < 32
x^2 < 16
|x| < 4

Таким образом, на интервалах (-4, 0) и (0, 4) производная положительна, что значит, что функция убывает на этих интервалах. Найдем экстремумы функции, приравняв производную к нулю:
32/x - 2x = 0
32 = 2x^2
x^2 = 16
x = ±4

Таким образом, данная функция имеет максимум при x = 4 и минимум при x = -4.

Функция f(x) = 3x/(x^2+1):

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции можно найти ее производную и решить уравнение f'(x) = 0.

f'(x) = (3(x^2+1) - 3x*2x)/(x^2+1)^2
f'(x) = (3x^2 + 3 - 6x^2)/(x^2+1)^2
f'(x) = (-3x^2 + 3)/(x^2+1)^2 = 0

-3x^2 + 3 = 0
x^2 = 1
x = ±1

Подставим найденные точки в исходную функцию:
f(1) = 31/(1+1) = 3/2
f(-1) = 3(-1)/(1+1) = -3/2

Итак, наибольшее значение функции f(x) равно 3/2 при х = 1, наименьшее значение равно -3/2 при x = -1.

Надеюсь, что данное описание будет вам полезно. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.