1. упростить выражение sin²(x+2y) +sin²(x-2y)-12. Преобразовать в произведение 2+tg2ф+ctg2ф3. Найдите наименьшее значение выражения при [tex]0 < \alpha < \frac{\pi}{4} [/tex][tex] \frac{ \cot( \alpha ) - \tan( \alpha ) }{ \cos(4 \alpha ) + 1} [/tex]
1. упростить выражение sin²(x+2y) +sin²(x-2y)-12. Преобразовать в произведение 2+tg2ф+ctg2ф3. Найдите наименьшее значение выражения при [tex]0 < \alpha < \frac{\pi}{4} [/tex][tex] \frac{ \cot( \alpha ) - \tan( \alpha ) }{ \cos(4 \alpha ) + 1} [/tex]
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
sin²(x+2y) + sin²(x-2y)
Используем формулу суммы квадратов для синуса:
sin²(a) + sin²(b) = 1 - cos(2a - 2b) / 2
Здесь a = x, b = 2y:
sin²(x+2y) + sin²(x-2y) = 1 - cos(2(x+2y) - 2(x-2y)) / 2
Преобразуем в произведение:= 1 - cos(4y) / 2
2 + tg²φ + ctg²φ
Используем тождество тангенса и котангенса:
tg²φ + ctg²φ = (1 - cos(2φ)) / (cos(2φ)sin(2φ))
Здесь φ = π/2:
tg²(π/2) + ctg²(π/2) = (1 - cos(π)) / (cos(π)sin(π))
= 2
Таким образом, выражение преобразуется в произведение:
2 + 2 = 4
Найдем наименьшее значение выражения:( cot( α ) - tan( α ) ) / ( cos(4α) + 1 )
Преобразуем числитель выражения:
cot( α ) - tan( α ) = cos( α ) / sin( α ) - sin( α ) / cos( α )
= ( cos²( α ) - sin²( α ) ) / ( cos( α ) sin( α ) )
= cos(2 α ) / ( sin(2 α ) )
= 1 / 2 cot(2 α )
Теперь выражение примет вид:
( 1 / 2 cot(2 α ) ) / ( cos(4 α ) + 1 )
( cot(2 α ) ) / ( 2 cos(4 α ) + 2 )
Так как 0 < α < π/4, двойка в знаменателе будет наименьшей. Следовательно, наименьшее значение выражения будет 1/2.