Для начала найдем производную функции F(x)=x^4-2x^2.

Используем правило дифференцирования степенной функции: (x^n)' = nx^(n-1).

F'(x)=4x^3-4x

Теперь исследуем функцию F(x) с помощью производной:

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

4x^3-4x=0
4x(x^2-1)=0
4x(x-1)(x+1)=0

Отсюда получаем x=0, x=1, x=-1.

Проверим найденные точки на экстремумы с помощью второй производной:

F''(x) = 12x^2 - 4

F''(0) = -4 < 0, значит в точке x=0 функция имеет локальный максимум.

F''(1) = 8 > 0, значит в точке x=1 функция имеет локальный минимум.

F''(-1) = 8 > 0, значит в точке x=-1 функция имеет локальный минимум.

Таким образом, функция F(x)=x^4-2x^2 имеет локальный максимум в точке x=0 и локальные минимумы в точках x=1 и x=-1.