Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d.

Третий член: a + 2d
Седьмой член: a + 6d
Четырнадцатый член: a + 13d
Восемнадцатый член: a + 17d

Из условия задачи имеем:
(a + 2d) + (a + 6d) + (a + 13d) + (a + 17d) = 48
4a + 38d = 48
a + 9.5d = 12 (1)

Так как нам даны формулы для нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
S_n = n/2 * (2a + (n-1)d

Для нашего случая, где n = 20, имеем:
S_20 = 20/2 (2a + 19d)
S_20 = 10 (2a + 19d)
S_20 = 20a + 190d (2)

Подставим (1) в (2):
S_20 = 20a + 190d
S_20 = 20 * (12 - 9.5d) + 190d
S_20 = 240 - 190d + 190d
S_20 = 240

Итак, сумма первых 20 членов данной арифметической прогрессии равна 240.