Для того чтобы найти число x, при котором sin x cos 2x tg 3x * ctg 4x < 0, нужно анализировать знаки каждого множителя и выполнять соответствующие операции.

sin x: знак sin x меняется от положительного к отрицательному при переходе через точку пи (x = pi*k, k - целое число).cos 2x: знак cos 2x меняется от отрицательного к положительному при переходе через точки pi/2 + pi*k, k - целое число.tg 3x: знак tg 3x меняется от отрицательного к положительному при переходе через точки pi/3 + pi*k, k - целое число.ctg 4x: знак ctg 4x меняется от отрицательного к положительному при переходе через точки pi/4 + pi*k, k - целое число.

Таким образом, нужно найти такие значения x, которые пройдут через все указанные точки пересечения знаков. Одним из таких значений может быть x = pi/6. При этом sin x = 1/2, cos 2x = cos(2 * pi/6) = cos(pi/3) = 1/2, tg 3x = tg(pi/2) = бесконечность, ctg 4x = ctg(pi/2) = 0. Умножив все эти значения на x, получим отрицательное число, что соответствует условию задачи.