Для решения данного уравнения методом введения дополнительных углов, преобразуем его следующим образом:

3sinx - 4cosx = 5
3sinx - 4cosx = 5
3sinx - 4sqrt(1-sin^2(x)) = 5
3sinx - 4sqrt(1-sin^2(x)) = 5
3sinx - 4sqrt(1-sin^2(x)) = 5
3sinx - 4sqrt(1-sinx)(1+sinx) = 5
3sinx - 4sqrt(1-sinx)(1+sinx) = 5
3sinx - 4(sqrt(1-sinx) sqrt(1+sinx)) = 5
3sinx - 4(sqrt(1-sinx)(1+sinx)) = 5
3sinx-4sqrt(1-sinx)cosx = 5

Пусть sinx = t, тогда уравнение имеет вид:

3t - 4sqrt(1-t)*sqrt(1+t) = 5

Решим полученное уравнение численно.