Для решения этой задачи нам нужно найти первый член и разность арифметической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен а, а разность равна d. Тогда n-й член арифметической прогрессии можно найти по формуле: a_n = a + (n-1)d.

По условию задачи известно, что 11-й член прогрессии равен 27, т.е. a_11 = 27. Подставив это значение в формулу для n-го члена получаем: a + 10d = 27.

Теперь найдем первый член прогрессии a и разность d. Для этого рассмотрим уравнение, где неизвестные значения a и d:

a + 10d = 27 (1)

Также нам дано, что 4-й член арифметической прогрессии равен a + 3d, а 18-й член равен a + 17d.

Из условия задачи получаем:

a + 3d + a + 17d = a + a + 20d = 27 + 27 = 54 (2)

Таким образом, у нас есть два уравнения:

a + 10d = 27 (1)
2a + 20d = 54 (2)

Решим эту систему уравнений методом подстановки или вычитания. Для начала умножим первое уравнение на 2:

2a + 20d = 54 (3)

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

2a + 20d - (a + 10d) = 54 - 27
a + 10d = 27

Таким образом, данная система уравнений имеет одно решение: a = 4, d = 2.

Найдем 4-й член прогрессии: a_4 = a + 3d = 4 + 32 = 10.
Найдем 18-й член прогрессии: a_18 = a + 17d = 4 + 172 = 38.

Итак, сумма четвертого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 10 + 38 = 48.