Обозначим угол ВАС как α. Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то тангенс угла α равен AC / BC = 2.

Также из треугольника ВАС, используя теорему Пифагора, получаем:
BV² + VC² = BC²
BV² + $VN+NC$² = BC²
BV² + $AN/cos\alpha$² = BC²
BV² + $AN/cos\alpha$² = BC²

Так как AN = AC = 2 * BC, то:
BN = BC - BC = BC

Таким образом, BAN - прямоугольный треугольник, и по теореме Пифагора:
BV² + AN² = BA²
BV² + 4 BC² / cos² α = BA²
BV² + 4 BN² / cos² α = BA²
BV² + 4 * BC² / cos² α = BA²

Так как тангенс угла α равен 2, то cos α = 1 / sqrt$1+ta{n}^2\alpha$ = 1 / sqrt$1+4$ = 1 / sqrt$5$

Таким образом, BV² + 4 BC² / $1/sqrt(5)$² = BA²
BV² + 4 BC² / 5 = BA²
BV² + 4 BN² = BA²
BV² + 4 BC² = BA²

Но мы знаем, что тангенс угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть tan α = 2 = AC / BC. Отсюда BC = AC / 2 = 2 * BC / 2 = BC

Подставляем BC = 2 BC в уравнение:
BV² + 4 $2<em>BV$² = BA²
BV² + 16 BV² = BA²
17 * BV² = BA².

Теперь найдем тангенс угла ВАН. Из прямоугольного треугольника ВАН имеем:
tan ВАН = AN / BN
tan ВАН = AC / VC
tan ВАН = 2 / $BV\ast cos\alpha$

Из треугольника BAC получаем:
BC² + AC² = AB²
BC² + 4 BC² = AB²
5 BC² = AB²
BC = AB / sqrt$5$

Заметим, что в прямоугольных треугольниках ВАС и ВАН углы у общией стороны сонаправлены, значит, BV является общим катетом. Следовательно, катеты ВАС и ВАН пропорциональны, то есть VN = $tan\alpha \ast VC$

Теперь мы можем выразить VN через BC:
VN = VC tan α = BC tan α = 2 * BC

И теперь можем выразить tan ВАН через BC и BN:
tan ВАН = 2 / $BV<em>cos\alpha$ tan ВАН = 2 / $2</em>BC<em>cos\alpha$ tan ВАН = 2 / $2</em>BC<em>1/sqrt(5)$ tan ВАН = 1 / $BC/sqrt(5)$ tan ВАН = 1 / $AB/sqrt(5)</em>tan\alpha$ tan ВАН = 1 / $AB/sqrt(5)\ast 2$ tan ВАН = sqrt$5$ / 2AB.

Таким образом, тангенс угла ВАН равен sqrt$5$ / 2AB.