Пусть x - количество килограмм помидор, y - количество килограмм огурцов.

Составляем систему уравнений:
1) 5x + 7y = 58
2) 3x + 8y = 78

Решаем систему уравнений. Домножим уравнение $1$ на 3, уравнение $2$ на 5 и вычтем одно из другого:

15x + 21y = 174
15x + 40y = 390
19y = 216
y = 12

Подставляем значение y в уравнение $1$:

5x + 7*12 = 58
5x + 84 = 58
5x = 58 - 84
5x = -26
x = -5.2

Ответ: купили 5.2 кг помидор и 12 кг огурцов.