Для нахождения радиуса основания и высоты цилиндра с наименьшей площадью поверхности можно воспользоваться методом дифференциального исчисления.

Обозначим радиус основания цилиндра как r, высоту как h, тогда объем цилиндра V = πr^2h = 27π.

Площадь полной поверхности цилиндра S = 2πrh + 2πr^2 = 2πr(h + r).

Найдем производную площади полной поверхности по переменной r и приравняем ее к нулю:

dS/dr = 2π(h + 2r) = 0.

h + 2r = 0,

h = -2r.

Подставим найденное значение h из уравнения объема цилиндра:

πr^2(-2r) = 27π,

r^3 = -27,

r = -3.

Так как радиус не может быть отрицательным, то r = 3.

Для нахождения высоты подставим r = 3 в уравнение h = -2r:

h = -2*3 = -6.

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота равна 6 см.