Уравнение окружности имеет вид:

(x - c)^2 + (y - d)^2 = r^2,

где (c, d) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Точка С является центром окружности, поэтому координаты точки С (c, d) являются координатами центра окружности: c = -16, d = 12.

Точка А(-4, -4) лежит на окружности, поэтому ее координаты подходят для уравнения окружности.

Тогда подставим данные в формулу:

(-4 + 16)^2 + (-4 - 12)^2 = r^2,

12^2 + (-4 - 12)^2 = r^2,

144 + (-16)^2 = r^2,

144 + 256 = r^2,

400 = r^2.

Итак, уравнение окружности, проходящей через точку А(-4, -4) с центром в точке С(-16, 12), имеет вид:

(x + 16)^2 + (y - 12)^2 = 400.