Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1 утверждение принимает вид 7(5^(21-1))+(2^(31+1)) = 75^1 + 2^4 = 35 + 16 = 51, что делится на 17 без остатка.

Предположение индукции:
Пусть 7(5^(2n-1))+(2^(3n+1)) делится на 17 при n = k, т.е. 7(5^(2k-1))+(2^(3k+1)) = 17m, где m - целое число.

Индукционный переход:
Для n = k + 1 получаем:
7(5^(2(k+1)-1))+(2^(3(k+1)+1)) = 7(5^(2k+1))+(2^(3k+4)) = 75^25^(2k-1) + (2^32^k) = 7255^(2k-1) + 82^k = 7255^(2k-1) + 82^k + 17 - 17.
По предположению индукции выражение 7255^(2k-1) + 82^k делится на 17, следовательно
7*(5^(2(k+1)-1)) + (2^(3(k+1)+1)) = 17m + 17 - 17 = 17(m+1),
что и требовалось доказать.

Таким образом, утверждение доказано методом математической индукции для любого натурального значения n.