Для того чтобы найти количество пятизначных чисел, в которых встречаются только нечетные цифры и каждая цифра встречается ровно один раз, нужно выполнить следующие шаги:

Выбрать первую цифру числа. Так как в числе должны быть только нечетные цифры, то это могут быть только 1, 3, 5, 7 или 9. Выбрать одну из них можно 5 способами.

Выбрать вторую цифру числа. Так как каждая цифра должна встречаться только один раз, то она не может повторяться. Также должна быть нечетной. Остается 4 варианта выбора.

Выбрать третью цифру числа. Так как каждая цифра должна встречаться только один раз, остаются 3 варианта выбора.

Выбрать четвертую и пятую цифры числа. По тем же принципам, остаются 2 и 1 варианты соответственно.

Итого, общее количество пятизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, будет равно:
5 4 3 2 1 = 120

Таким образом, существует 120 пятизначных чисел, в записи которых встречаются только нечетные цифры, причем каждая цифра встречается ровно один раз.