Теорема косинусов для треугольника утверждает следующее: в любом треугольнике длины сторон связаны соотношением:

(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C)

где (a), (b), (c) - длины сторон треугольника, (C) - угол между сторонами (a) и (b).

Для доказательства данной теоремы рассмотрим произвольный треугольник (ABC), где (a), (b), (c) - длины сторон (BC), (AC) и (AB) соответственно, (C) - угол между сторонами (AB) и (AC).

Рассмотрим также высоту (CH), опущенную из вершины (C) на сторону (AB). Тогда (AH) и (HB) - это катеты прямоугольного треугольника (ABC), а (CB) - его гипотенуза.

Из прямоугольного треугольника (ACH) получаем:
(AH = c \cos C)

Из прямоугольного треугольника (BCH) получаем:
(BH = b \cos C)

Из прямоугольного треугольника (AHB) получаем:
(AB^2 = AH^2 + BH^2 = c^2 \cos^2 C + b^2 \cos^2 C = c^2 + b^2 - 2bc\cos C)

Таким образом, мы получили теорему косинусов для треугольника (ABC).