Для удобства, обозначим кубический корень из 12 как ( \sqrt[3]{12} = a ) и кубический корень из 19 как ( \sqrt[3]{19} = b ).

Тогда у нас есть:

( \sqrt{a^3 - b^3} \cdot \sqrt{a^3 + b^3} )

Применим формулу разности кубов:

( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) )

( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) )

Подставим это в нашу исходную задачу:

( \sqrt{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \sqrt{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} )

( = \sqrt{a^3 - b^3} \cdot \sqrt{a^3 + b^3} )

( = \sqrt{12 - 19} \cdot \sqrt{12 + 19} )

( = \sqrt{-7} \cdot \sqrt{31} )

( = i\sqrt{7} \cdot \sqrt{31} )

( = i\sqrt{217} ).

Таким образом, ( \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{19} ) умноженное на ( \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{19} ) равно ( i\sqrt{217} ).