Пусть точка касания окружности с катетом 20 обозначается как A, с катетом 21 - как B, центр описанной окружности - O.

Радиусы окружностей, касающихся катетов, равны соответственно r1 и r2. Радиус описанной окружности равен R.

Так как окружность, касающаяся обоих катетов и изнутри описанной окружности, является вписанной окружностью для прямоугольного треугольника, то она касается гипотенузы в ее средней точке.

Поэтому AO = r1, BO = r2, AB = 41 (20 + 21), AM = MB = (20 + 21) / 2 = 20.5.

Также известно, что AM = (полупериметр - AB) / 2 = (20 + 21 + 41) / 2 = 41 / 2 = 20.5.

Таким образом, треугольник AMO является прямоугольным, причем AO = r1 и AM = 20.5. Поэтому можем составить уравнение катета:

(r1)^2 = 20.5^2 + 20^2
r1 = √((20.5)^2 + 20^2)
r1 ≈ √(420.25 + 400)
r1 ≈ √820.25
r1 ≈ 28.65

Аналогично, для катета BO получаем:

(r2)^2 = 20.5^2 + 21^2
r2 = √((20.5)^2 + 21^2)
r2 ≈ √(420.25 + 441)
r2 ≈ √861.25
r2 ≈ 29.36

Таким образом, радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 28.65 и 29.36, а радиус описанной окружности равен 20.5.