Чтобы найти производную функции ( \ln{(x+5)^5} ), сначала раскроем скобки:

[ \ln{(x+5)^5} = 5 \ln{(x+5)} ]

Теперь возьмем производную от правой части:

[ \frac{d}{dx} (5 \ln{(x+5)}) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (\ln{(x+5)}) ]

Для нахождения производной ( \ln{(x+5)} ) используем правило цепочки:

[ \frac{d}{dx} (\ln{u}) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} ]

Где ( u = (x+5) ). Тогда:

[ \frac{d}{dx} (\ln{(x+5)}) = \frac{1}{x+5} \cdot 1 = \frac{1}{x+5} ]

Подставляем это обратно в первоначальное выражение:

[ 5 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{5}{x+5} ]

Таким образом, производная от ( \ln{(x+5)^5} ) равна ( \frac{5}{x+5} ).