Для начала найдем длину стороны BC. Известно, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, является пересечением высот, проходящих через вершины треугольника. Таким образом, AO, BO и CO являются высотами треугольника.

Так как AO - медиана, то отношение медианы к стороне равно 2:1. Значит, BO=CO=70.

Теперь рассмотрим треугольник ABO. По теореме Пифагора:
AB^2 = AO^2 + BO^2
140^2 = AO^2 + 70^2
AO = sqrt(140^2 - 70^2)
AO = sqrt(19600 - 4900)
AO = sqrt(14700)
AO = 121.11

Теперь рассмотрим треугольник AOC. По теореме Пифагора:
AC^2 = AO^2 + CO^2
160^2 = AO^2 + 70^2
AO = sqrt(160^2 - 70^2)
AO = sqrt(25600 - 4900)
AO = sqrt(20700)
AO = 143.78

Теперь рассмотрим треугольники ACD и ABD. Так как BD перпендикулярна AO, значит, треугольники ACD и ABD подобны треугольнику ABC.

Так как BC=140, то DC=70 и BD=100.
Теперь можем использовать подобие треугольников для нахождения AD:

AD/AC = BD/BC
AD/160 = 100/140
AD = 160 * 100 / 140
AD = 114.29

Итак, AD = 114.29.