a) Для доказательства того, что квадратный трехчлен x^{2}-14x+50 принимает лишь положительные значения, нам нужно исследовать его дискриминант D.

D = b^{2} - 4ac = (-14)^{2} - 4150 = 196 - 200 = -4

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней, следовательно, его значение не может быть равно нулю. Таким образом, квадратный трехчлен x^{2}-14x+50 принимает только положительные значения для любых значений x.

б) Для доказательства, что квадратный трехчлен -x^{2}+6x-11 принимает лишь отрицательные значения, возьмем вершину параболы в квадратном трехчлене.

x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2*(-1)} = -3

Подставим x_{0} = -3 в уравнение:

f(-3) = -(-3)^{2} + 6*(-3) - 11 = -9 - 18 - 11 = -38

Полученное значение отрицательно. Таким образом, квадратный трехчлен -x^{2}+6x-11 принимает только отрицательные значения для любых значений x.